KANTİTATİF RİSK DEĞERLENDİRME TEKNİKLERİ ÜNİTE 5 

İstatiksel Kavramlar 

Olasılık 

Rassal Deney: Mümkün olabilecek sonuçlardan (örnek uzay) önceden kestirilemeyen birinin gerçekleşmesi işlemine denir. Burada rassallık deneyin aynı ortam ve aynı şartlarda gerçekleştiği hâlde her seferinde farklı bir sonuçla sonlanabileceğini temsil etmektedir. 

Örnek Uzay ve Rassal Olay: Herhangi bir rassal deneyin olabilecek tüm sonuçlar kümesi örnek uzay olarak adlandırılırken bu uzayın herhangi bir altkümesine ise olay adı verilir. Örneğin, zarın bir kez atılması rassal deneyimizi temsil ederken bu deneyimiz için örnek uzay S={1,2,3,4,5,6} ve zarın 3`ten büyük gelme olayı A={1,2,3} olacaktır. 

Kesikli ve Sürekli Örnek Uzay: Durum uzayı eğer sınırlı veya sayılabilir sayıda elemandan oluşuyorsa kesikli örnek uzayı, eğer sınırlı veya sınırsız bir aralığı içeriyorsa sürekli örnek uzayı olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, bir işletmede gerçekleşebilecek kazanın şiddetini yüksek, orta ve düşük olarak sınıflandıracak olursak kesikli örnek uzayımız S={yüksek,orta,düşük} olarak oluşacaktır. Buna karşılık bir işletmede üretim sonucunda ortaya çıkan atık gaz miktarının 0 ile 0.5 mg arasında herhangi bir değer aldığından bahsediliyorsa örnek uzay S={ x|0≤x≤0.5} olarak oluşacaktır. 

Ayrık Olay: İki olay arasında ortak bir eleman söz konusu değilse bu olaylara ayrık olaylar adı verilir. Başka deyişle bu olayların kesişimi boş kümedir (𝐴1∩𝐴2=∅). 

Olasılık: Bir olayın olasılığı ise P(A) olarak gösterilir ve A olayının içindeki bütün sonuçların olasılıklarının toplamı ile hesaplanır. 

Bu bilgiler ışığında olasılık aksiyomlarını şu şekilde tanımlayabiliriz: 

Herhangi bir olayın gerçekleşme olasılığı 0 ile 1 arasında değişir (0≤P(A)≤1) 

Örnek uzaydaki bütün sonuçların olasılığının toplamı 1’e eşittir (P(S)=1) 

İki ayrık olayın en azından herhangi birinin gerçekleşme olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. (𝑃(𝐴1∪𝐴2)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)). 

Şartlı Olasılık: Bir olay ile ilgili yeni bilgiler ortaya çıktığında olasılıkların yeniden değerlendirilmesi söz konusu olabilir. Örneğin, A olayının bir sonucunun gerçekleştiği bilinde B olayının gerçekleşme olasılığını inceliyorsak 𝑃(𝐵|𝐴) şeklinde gösterilir ve A verildiğinde B’nin koşullu olasılığı olarak adlandırılır. 𝑃(𝐵|𝐴) koşullu olasılığı ise şu şekilde hesaplanır: 

𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐴) 

Rassal değişken 

Rassal deneye ait örnek uzayının her bir sonucuna sayısal değer atayan fonkiyondur. X gibi büyük harflerle gösterilir. Örnek uzayda olduğu gibi sayılabilir veya gerçekleşebilecek değerler sınırlı ise kesikli rassal değişken, gerçekleşebilecek değerler bir aralıkta ise sürekli rassal değişken olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, belirli bir dönem içerisindeki gerçekleşen kaza sayısı kesikli, kazaların sebep olduğu hasarların parasal olarak karşılığı sürekli rassal değişkene örnek olarak gösterilebilir. 

Rassal değişken X’in mümkün olabilecek değerlerinin olasılıkları, olasılık fonksiyonu 𝑓𝑥(𝑥) ile açıklanmaktadır. 

Beklenen değer 

Beklenen değer, dağılımın merkezi veya orta noktası hakkında bilgi verir ve bir dağılım için önemli açıklayıcı ölçülerden bir tanesidir. Kesikli değişkenler için beklenen değer 𝐸(𝑋)=𝜇=Σ𝑥𝑖𝑝(𝑥𝑖)𝑛𝑖=1 ile hesaplanır. Kesikli değişkenler için beklenen değer bütün alabileceği değerler ile bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımının toplamına eşittir. Buna karşılık sürekli değişkenler için beklenen değer 𝐸(𝑋)=𝜇=∫𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞−∞ ile hesaplanır. 

Varyans 

Varyans, dağılımın yaygınlığı başka bir deyişle değişkenliği hakkında önemli bir bilgi sağlar. Genel olarak ortalaması μ ile gösterilmiş olan X rassal değişkeninin varyası aşağıdaki gibi hesaplanır. 𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝜎2=𝐸[(𝑋−𝜇)2] 

Eğer dağılım kesikli ise şu şekilde hesaplanır: 𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝜎2=Σ(𝑥𝑖−𝜇)2𝑝(𝑥𝑖)𝑛𝑖=1 

Eğer dağılım sürekli ise şu şekilde hesaplanır: 𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝜎2=∫(𝑥−𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞−∞ 

Yukarıdaki tanımlamalardan anlaşılacağı üzere bir değişkenin varyansının genel olarak ortalamasından sapmasının karelerinin ortalaması olduğunu söyleyebiliriz. Standard sapma ise 𝜎 ile gösterilir ve 𝜎=√𝑉𝑎𝑟(𝑋) ile hesaplanır. 

Histogram 

Elimizdeki ham bir verinin dağılımını anlamak ve veriyi daha açıklayıcı hâle getirmek için histogramlardan ve frekans tablolarından faydalanırız. Histogram elimizdeki veriyi daha organize bir şekilde düzenleyerek verinin ortalaması ve yaygınlığı gibi ölçülerde bilgi sahibi olmamızı sağlar (Montgomery ve Runger, 1999). 

Kantitatif Risk Değerlendirme Teknikleri 

Monte Carlo Simülasyonu 

Monte Carlo simülasyonu, analitik yöntemlerle hesaplamanın çok zor veya karmaşık olduğu durumlarda tercih edilen bir yöntemdir. Monte Carlo simülasyonu sayesinde problemin yapısına ve girdilerine göre rastgele sayılar türetilerek karar vericilerin problem, probleme ait belirsizlikler ve sistem belirsizliği hakkında bilgi edinilmesini sağlayarak sağlıklı ve etkin kararlar verilmesine olanak sağlar. 

Markov Analizi:Markov analizi, verilen bir sistemdeki gelecek durumların mevcut durumlara bağlı olduğu hâllerdeki stokastik süreçleri modellemede kullanılır. Birinci derecen Markov analizi gelecek durumların şimdiki durum verildiğinde geçmiş durumlardan bağımsızlığını kabul eder. 

Bayes Ağları:Bayes ağları, grafik modellerinin yardımı ile birçok değişken ve bunlar arasındaki olasılık ilişkilerini modellemek için kullanılır. Bayes ağlarında değişkenler düğümler olarak gösterilirken bu düğümler arasındaki ilişkiler yönlü oklar ile gösterilmektedir. Değişkenlere ait olasılık ilişkileri de şartlı olasılıklar ile tanımlanır. 

Karar AğacıKarar ağacı, risk altında karar vermede kullanılan kantitatif tekniklerden biridir. Karar ağacı, tercih yapılan çeşitli alternatifleri ve her bir kararın sahip olduğu belirsizlikleri sıralı olarak göz önüne alarak inceler. Belirlenen fayda, getiri veya maliyet gibi bir performans ölçütünden beklenen değere göre en iyi performansı gösteren farklı alternatiflerin seçiminde kullanılan bir tekniktir.